где - i-я обобщенная характеристика, определяющая интегральный уровень системы, которая является случайной величиной;

- предельное значение для характеристики , вход за границы которого характеризуется деградацией системы (моральным старением).

Пусть известна модель, описывающая зависимость обобщенной характеристики от множества параметров системы. При этом характеристику можно рассматривать в виде случайного вектора с соответствующими компонентами и многомерным законом распределения

(1)

где - относительные (нормированные) параметры системы, являющиеся случайными величинами;

- программная продолжительность жизненного цикла системы;

- текущий параметр времени.

Тогда вероятность невыхода случайных векторов за допустимые пределы в заданный момент времени Т₁, т.е. вероятность морального неустаревания системы определяется по формуле

где - дифференциальный закон многомерного распределения.

Закон определения тактов развития системы (обоснование модернизации) можно сформулировать следующим образом. Пусть известна функция интегрального уровня системы, полностью характеризуемая функцией многомерного распределения параметра , значения параметров х₁,…,х_n в момент Т₁ и их зависимость от текущего параметра .

Необходимо по этим данным вычислить вероятность невыхода случайных векторов за допустимые пределы в момент . Решение сформулированной задачи, как правило, связано со значительными трудностями. На практике законы распределения параметров х₁,…,х_n априорно не известны. Кроме того, общего метода вычислений функции плотности многомерного распределения не имеется, и задача решается при введении ряда достаточно жёстких ограничений.

Преодолеть имеющиеся трудности позволяет применение методов стохастической теории подобия [1]. Тогда, на основании известной ? - теоремы, определяющей, что функциональная зависимость между параметрами системы может быть представлена в виде зависимости между составленными из них критериями подобия, можно преобразовать выражение (1) и записать его в критериальном виде

где - критерий подобия, характеризующий ту или иную сторону явления;

- критерий подобия, включающий в себя параметр Т;

- некоторые константы.

Во-первых, используя свойство универсальности закона распределения критериев подобия как случайных величин, можно сделать вывод о том, что критерии подобия подчиняются логнормальному закону распределения [1]. Таким образом, законы распределения случайных величин известны априорно.

.

Здесь h_j=(h₁,h₂,…,h_N) – вектор нормированных допусков,

,

где B_j – односторонний допуск на j-й критерий подобия, вычисленный по заданным допускам а_j; -параметры логнормального распределения j-го критерия подобия.

Тогда алгоритм определения тактов развития будет заключаться в определении коэффициентов по выборочным значениям параметров системы за время Т₁, находятся параметры распределения критериев подобия и и производится пересчет этих параметров к моменту времени Т₂. Таким образом, вычисляются , и вероятность морального неустаревания системы , которая характеризует интегральный уровень системы после эксплуатации продолжительностью Т₂.